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Variações acumuladas

Publicado em 13.03.2009 por CHRistian na(s) categoria(s) Aprendizado, Colaboradores, Informações, Opinião

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percentagem A bolsa de valores subiu 0,12% num dia, 0,24% no seguinte e 0,35% no terceiro; qual foi a taxa acumulada nesse período? E se a bolsa tivesse caído 0,1% no segundo dia?

A divisão de uma percentagem por 100 resulta em um fator decimal (também chamado de fator unitário). Se a percentagem em questão for inferior a 100%, o fator será menor do que 1. Se a percentagem for maior do que 100%, o fator será superior a 1. Quanto são 10% de 172? Transforme a percentagem em fator decimal (10 ÷ 100 = 0,10) e multiplique-a pelo valor de referência (no caso, 172). O resultado é 17,2 (172 x 0,10).

Se o Ibovespa estava em 37.000 pontos e subiu 1% ao fim do pregão, para quanto ele foi? O fator decimal, você já sabe, será 0,01 (1 ÷ 100). Se você multiplicá-lo pelo valor de referência (37.000), chegará à variação ocorrida naquele pregão: 370 pontos (0,01 x 37.000). Ora, se o índice estava em 37.000 e ganhou 370 pontos, então obviamente fechou o dia em 37.370.

Dado que um número dividido por ele mesmo é sempre igual a 1, teria sido mais prático transformar o fator decimal em fator de multiplicação, somando-o a 1, e multiplicar esse novo fator pelo valor de referência, chegando-se diretamente ao resultado e eliminando a adição intermediária. Testando: 37.000 x 1,01 = 37.370.

Agora imagine que o Ibovespa tenha se valorizado em 6% no 1º semestre e que um analista diga “No semestre que vem, a bolsa subirá 5% mais do que subiu neste”. Ele pode estar dizendo que a valorização no 2º semestre será de 11% (6 + 5), em cujo caso ambas as percentagens são valores absolutos, ou de 11,13% (6 × 1,05), em cujo caso a primeira percentagem é um valor absoluto e a segunda, um valor relativo.

Quando se opera com percentagens, é fundamental deixar claro se a percentagem em questão é um valor absoluto ou relativo, para evitar dubiedade como a que está implícita na afirmação desse analista imaginário. A melhor maneira de fugir do problema é falar em “pontos percentuais” quando a percentagem for um valor absoluto.

Na primeira situação, o analista diria que o aumento do semestre que vem será 5 pontos percentuais maior do que o deste e na segunda hipótese ele diria, aí sim, que o próximo incremento será 5% maior. Para não criar esse tipo de confusão, falaremos aqui em adição e subtração de percentagens como valores absolutos (usando sempre a expressão “pontos percentuais”) e de acumulação e extração de percentagens como valores relativos.

A adição e a subtração de percentagens não têm mistério algum, pois se trata de operações triviais com números que, por acaso, são percentagens. Como se viu, um aumento de 5 pontos percentuais acima de 6% será de 11%. Um aumento de 5 pontos percentuais a menos será de 1% (6 – 5).

A acumulação de percentagens se faz pela multiplicação dos fatores de multiplicação. É mais simples do que parece. Recordando: o Ibovespa subiu 0,12%, 0,24% e 0,35% em três dias; qual foi a taxa acumulada no período? Comecemos com os fatores:

0,12 ¸ 100 = 0,0012 + 1 = 1,0012

0,24 ¸ 100 = 0,0024 + 1 = 1,0024

0,35 ¸ 100 = 0,0035 + 1 = 1,0035

Agora basta multiplicá-los um pelo outro (lembrando que a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, a multiplicação pode se dar em qualquer seqüência):

1,0012 × 1,0024 × 1,0035 = 1,007115

Então o Ibovespa subiu 1,007115%? Não, o resultando da multiplicação de fatores de multiplicação é outro fator de multiplicação. Para convertê-lo em percentagem, faça o caminho inverso ao da transformação de um fator decimal em um fator de multiplicação: subtraia 1 e multiplique o resultado por 100, assim:

1,007115 – 1 = 0,007115 × 100 = 0,7115%

E se a bolsa tivesse caído 0,1% no segundo dia? A lógica não mudaria, apenas, nesse caso, um dos fatores de multiplicação seria inferior a 1 (-0,1 ¸ 100 = -0,001 + 1 = 0,999), o que daria:

1,0012 × 0,999 × 1,0035 = 1,0037 – 1 = 0,0037 × 100 = 0,37%

Bom, sabendo que em 3 dias a bolsa subiu 0,7115% e que, em um desses dias, a alta foi de 0,24%, calcule de quanto foi a alta acumulada nos dois dia restantes. Trata-se agora da extração de uma percentagem de outra, o que se faz pela divisão dos fatores de multiplicação.

1,007115 / 1,0024 = 1,004704

Para concluir, transforme o fator de multiplicação apurado em percentagem, da forma já conhecida:

1,004704 – 1 = 0,004704 x 100 = 0,4704%

Como sabemos a variação dia a dia, podemos confirmar esse resultado acumulando as altas de cada um daqueles dois dias:

1,0012 × 1,0035 = 1,004704 – 1 = 0,004704 x 100 = 0,4704%

Cuidado! Como a extração é uma divisão, dividir um fator por outro ou “outro por um” faz diferença. O numerador da fração (a parcela que será dividida) deve ser o valor que contém o outro, isto é, aquele do qual o outro será extraído. O divisor da fração (a parcela que dividirá a outra) deve ser o valor que será extraído.

Resumindo:

Fator decimal: percentagem / 100

Fator de multiplicação: fator decimal + 1

Acumulação de percentagens [1]:

{(fator de multiplicação 1 x fator de multiplicação 2) – 1} x 100

Extração de percentagens:

formula

________________________________
[1] Os parênteses e as chaves mostram a hierarquia entre as várias operações que uma fórmula contém. O que está entre parênteses ocorre antes do que está entre chaves, que ocorre antes do que está fora das chaves.

______________________________________________________________________ _______

Artigo escrito por Andrei Winograd – Graduado em Ciências Sociais pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) e pós-graduado em Finanças pela Pontifícia Universidade Católica (PUC-RJ) e em Mercados Futuros e de Capitais pela Universidade Cândido Mendes. Atua como executivo e consultor, possuindo vasta experiência na avaliação econômico-financeira de empresas e projetos. Autor dos livros “Alfabetização Financeira”, lançado no dia 09/03 pela Editora Novatec, e “(F)Utilidades – Mistérios do dia-a-dia explicados”, publicado em 2006 pela Matrix Editora.

(alfabetizacao.financeira@sefer.net)

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2 comentários para “Variações acumuladas”

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  1. Ivan disse:
    14 de março de 2009 às 11:11

    Bom dia, pelo andar da carruagem esta semana teremos fortes emoções, salve-se quem puder!!!

  2. Augusto disse:
    14 de março de 2009 às 12:27

    Muito boa essa explicação nunca é tarde para aprender e recordar, parabéns pelo artigo abraço.

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percentagem A bolsa de valores subiu 0,12% num dia, 0,24% no seguinte e 0,35% no terceiro; qual foi a taxa acumulada nesse período? E se a bolsa tivesse caído 0,1% no segundo dia?

A divisão de uma percentagem por 100 resulta em um fator decimal (também chamado de fator unitário). Se a percentagem em questão for inferior a 100%, o fator será menor do que 1. Se a percentagem for maior do que 100%, o fator será superior a 1. Quanto são 10% de 172? Transforme a percentagem em fator decimal (10 ÷ 100 = 0,10) e multiplique-a pelo valor de referência (no caso, 172). O resultado é 17,2 (172 x 0,10).

Se o Ibovespa estava em 37.000 pontos e subiu 1% ao fim do pregão, para quanto ele foi? O fator decimal, você já sabe, será 0,01 (1 ÷ 100). Se você multiplicá-lo pelo valor de referência (37.000), chegará à variação ocorrida naquele pregão: 370 pontos (0,01 x 37.000). Ora, se o índice estava em 37.000 e ganhou 370 pontos, então obviamente fechou o dia em 37.370.

Dado que um número dividido por ele mesmo é sempre igual a 1, teria sido mais prático transformar o fator decimal em fator de multiplicação, somando-o a 1, e multiplicar esse novo fator pelo valor de referência, chegando-se diretamente ao resultado e eliminando a adição intermediária. Testando: 37.000 x 1,01 = 37.370.

Agora imagine que o Ibovespa tenha se valorizado em 6% no 1º semestre e que um analista diga “No semestre que vem, a bolsa subirá 5% mais do que subiu neste”. Ele pode estar dizendo que a valorização no 2º semestre será de 11% (6 + 5), em cujo caso ambas as percentagens são valores absolutos, ou de 11,13% (6 × 1,05), em cujo caso a primeira percentagem é um valor absoluto e a segunda, um valor relativo.

Quando se opera com percentagens, é fundamental deixar claro se a percentagem em questão é um valor absoluto ou relativo, para evitar dubiedade como a que está implícita na afirmação desse analista imaginário. A melhor maneira de fugir do problema é falar em “pontos percentuais” quando a percentagem for um valor absoluto.

Na primeira situação, o analista diria que o aumento do semestre que vem será 5 pontos percentuais maior do que o deste e na segunda hipótese ele diria, aí sim, que o próximo incremento será 5% maior. Para não criar esse tipo de confusão, falaremos aqui em adição e subtração de percentagens como valores absolutos (usando sempre a expressão “pontos percentuais”) e de acumulação e extração de percentagens como valores relativos.

A adição e a subtração de percentagens não têm mistério algum, pois se trata de operações triviais com números que, por acaso, são percentagens. Como se viu, um aumento de 5 pontos percentuais acima de 6% será de 11%. Um aumento de 5 pontos percentuais a menos será de 1% (6 – 5).

A acumulação de percentagens se faz pela multiplicação dos fatores de multiplicação. É mais simples do que parece. Recordando: o Ibovespa subiu 0,12%, 0,24% e 0,35% em três dias; qual foi a taxa acumulada no período? Comecemos com os fatores:

0,12 ¸ 100 = 0,0012 + 1 = 1,0012

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Agora basta multiplicá-los um pelo outro (lembrando que a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, a multiplicação pode se dar em qualquer seqüência):

1,0012 × 1,0024 × 1,0035 = 1,007115

Então o Ibovespa subiu 1,007115%? Não, o resultando da multiplicação de fatores de multiplicação é outro fator de multiplicação. Para convertê-lo em percentagem, faça o caminho inverso ao da transformação de um fator decimal em um fator de multiplicação: subtraia 1 e multiplique o resultado por 100, assim:

1,007115 – 1 = 0,007115 × 100 = 0,7115%

E se a bolsa tivesse caído 0,1% no segundo dia? A lógica não mudaria, apenas, nesse caso, um dos fatores de multiplicação seria inferior a 1 (-0,1 ¸ 100 = -0,001 + 1 = 0,999), o que daria:

1,0012 × 0,999 × 1,0035 = 1,0037 – 1 = 0,0037 × 100 = 0,37%

Bom, sabendo que em 3 dias a bolsa subiu 0,7115% e que, em um desses dias, a alta foi de 0,24%, calcule de quanto foi a alta acumulada nos dois dia restantes. Trata-se agora da extração de uma percentagem de outra, o que se faz pela divisão dos fatores de multiplicação.

1,007115 / 1,0024 = 1,004704

Para concluir, transforme o fator de multiplicação apurado em percentagem, da forma já conhecida:

1,004704 – 1 = 0,004704 x 100 = 0,4704%

Como sabemos a variação dia a dia, podemos confirmar esse resultado acumulando as altas de cada um daqueles dois dias:

1,0012 × 1,0035 = 1,004704 – 1 = 0,004704 x 100 = 0,4704%

Cuidado! Como a extração é uma divisão, dividir um fator por outro ou “outro por um” faz diferença. O numerador da fração (a parcela que será dividida) deve ser o valor que contém o outro, isto é, aquele do qual o outro será extraído. O divisor da fração (a parcela que dividirá a outra) deve ser o valor que será extraído.

Resumindo:

Fator decimal: percentagem / 100

Fator de multiplicação: fator decimal + 1

Acumulação de percentagens [1]:

{(fator de multiplicação 1 x fator de multiplicação 2) – 1} x 100

Extração de percentagens:

formula

________________________________
[1] Os parênteses e as chaves mostram a hierarquia entre as várias operações que uma fórmula contém. O que está entre parênteses ocorre antes do que está entre chaves, que ocorre antes do que está fora das chaves.

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Artigo escrito por Andrei Winograd – Graduado em Ciências Sociais pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) e pós-graduado em Finanças pela Pontifícia Universidade Católica (PUC-RJ) e em Mercados Futuros e de Capitais pela Universidade Cândido Mendes. Atua como executivo e consultor, possuindo vasta experiência na avaliação econômico-financeira de empresas e projetos. Autor dos livros “Alfabetização Financeira”, lançado no dia 09/03 pela Editora Novatec, e “(F)Utilidades – Mistérios do dia-a-dia explicados”, publicado em 2006 pela Matrix Editora.

(alfabetizacao.financeira@sefer.net)

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percentagem A bolsa de valores subiu 0,12% num dia, 0,24% no seguinte e 0,35% no terceiro; qual foi a taxa acumulada nesse período? E se a bolsa tivesse caído 0,1% no segundo dia?

A divisão de uma percentagem por 100 resulta em um fator decimal (também chamado de fator unitário). Se a percentagem em questão for inferior a 100%, o fator será menor do que 1. Se a percentagem for maior do que 100%, o fator será superior a 1. Quanto são 10% de 172? Transforme a percentagem em fator decimal (10 ÷ 100 = 0,10) e multiplique-a pelo valor de referência (no caso, 172). O resultado é 17,2 (172 x 0,10).

Se o Ibovespa estava em 37.000 pontos e subiu 1% ao fim do pregão, para quanto ele foi? O fator decimal, você já sabe, será 0,01 (1 ÷ 100). Se você multiplicá-lo pelo valor de referência (37.000), chegará à variação ocorrida naquele pregão: 370 pontos (0,01 x 37.000). Ora, se o índice estava em 37.000 e ganhou 370 pontos, então obviamente fechou o dia em 37.370.

Dado que um número dividido por ele mesmo é sempre igual a 1, teria sido mais prático transformar o fator decimal em fator de multiplicação, somando-o a 1, e multiplicar esse novo fator pelo valor de referência, chegando-se diretamente ao resultado e eliminando a adição intermediária. Testando: 37.000 x 1,01 = 37.370.

Agora imagine que o Ibovespa tenha se valorizado em 6% no 1º semestre e que um analista diga “No semestre que vem, a bolsa subirá 5% mais do que subiu neste”. Ele pode estar dizendo que a valorização no 2º semestre será de 11% (6 + 5), em cujo caso ambas as percentagens são valores absolutos, ou de 11,13% (6 × 1,05), em cujo caso a primeira percentagem é um valor absoluto e a segunda, um valor relativo.

Quando se opera com percentagens, é fundamental deixar claro se a percentagem em questão é um valor absoluto ou relativo, para evitar dubiedade como a que está implícita na afirmação desse analista imaginário. A melhor maneira de fugir do problema é falar em “pontos percentuais” quando a percentagem for um valor absoluto.

Na primeira situação, o analista diria que o aumento do semestre que vem será 5 pontos percentuais maior do que o deste e na segunda hipótese ele diria, aí sim, que o próximo incremento será 5% maior. Para não criar esse tipo de confusão, falaremos aqui em adição e subtração de percentagens como valores absolutos (usando sempre a expressão “pontos percentuais”) e de acumulação e extração de percentagens como valores relativos.

A adição e a subtração de percentagens não têm mistério algum, pois se trata de operações triviais com números que, por acaso, são percentagens. Como se viu, um aumento de 5 pontos percentuais acima de 6% será de 11%. Um aumento de 5 pontos percentuais a menos será de 1% (6 – 5).

A acumulação de percentagens se faz pela multiplicação dos fatores de multiplicação. É mais simples do que parece. Recordando: o Ibovespa subiu 0,12%, 0,24% e 0,35% em três dias; qual foi a taxa acumulada no período? Comecemos com os fatores:

0,12 ¸ 100 = 0,0012 + 1 = 1,0012

0,24 ¸ 100 = 0,0024 + 1 = 1,0024

0,35 ¸ 100 = 0,0035 + 1 = 1,0035

Agora basta multiplicá-los um pelo outro (lembrando que a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, a multiplicação pode se dar em qualquer seqüência):

1,0012 × 1,0024 × 1,0035 = 1,007115

Então o Ibovespa subiu 1,007115%? Não, o resultando da multiplicação de fatores de multiplicação é outro fator de multiplicação. Para convertê-lo em percentagem, faça o caminho inverso ao da transformação de um fator decimal em um fator de multiplicação: subtraia 1 e multiplique o resultado por 100, assim:

1,007115 – 1 = 0,007115 × 100 = 0,7115%

E se a bolsa tivesse caído 0,1% no segundo dia? A lógica não mudaria, apenas, nesse caso, um dos fatores de multiplicação seria inferior a 1 (-0,1 ¸ 100 = -0,001 + 1 = 0,999), o que daria:

1,0012 × 0,999 × 1,0035 = 1,0037 – 1 = 0,0037 × 100 = 0,37%

Bom, sabendo que em 3 dias a bolsa subiu 0,7115% e que, em um desses dias, a alta foi de 0,24%, calcule de quanto foi a alta acumulada nos dois dia restantes. Trata-se agora da extração de uma percentagem de outra, o que se faz pela divisão dos fatores de multiplicação.

1,007115 / 1,0024 = 1,004704

Para concluir, transforme o fator de multiplicação apurado em percentagem, da forma já conhecida:

1,004704 – 1 = 0,004704 x 100 = 0,4704%

Como sabemos a variação dia a dia, podemos confirmar esse resultado acumulando as altas de cada um daqueles dois dias:

1,0012 × 1,0035 = 1,004704 – 1 = 0,004704 x 100 = 0,4704%

Cuidado! Como a extração é uma divisão, dividir um fator por outro ou “outro por um” faz diferença. O numerador da fração (a parcela que será dividida) deve ser o valor que contém o outro, isto é, aquele do qual o outro será extraído. O divisor da fração (a parcela que dividirá a outra) deve ser o valor que será extraído.

Resumindo:

Fator decimal: percentagem / 100

Fator de multiplicação: fator decimal + 1

Acumulação de percentagens [1]:

{(fator de multiplicação 1 x fator de multiplicação 2) – 1} x 100

Extração de percentagens:

formula

________________________________
[1] Os parênteses e as chaves mostram a hierarquia entre as várias operações que uma fórmula contém. O que está entre parênteses ocorre antes do que está entre chaves, que ocorre antes do que está fora das chaves.

______________________________________________________________________ _______

Artigo escrito por Andrei Winograd – Graduado em Ciências Sociais pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) e pós-graduado em Finanças pela Pontifícia Universidade Católica (PUC-RJ) e em Mercados Futuros e de Capitais pela Universidade Cândido Mendes. Atua como executivo e consultor, possuindo vasta experiência na avaliação econômico-financeira de empresas e projetos. Autor dos livros “Alfabetização Financeira”, lançado no dia 09/03 pela Editora Novatec, e “(F)Utilidades – Mistérios do dia-a-dia explicados”, publicado em 2006 pela Matrix Editora.

(alfabetizacao.financeira@sefer.net)

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Muito boa essa explicação nunca é tarde para aprender e recordar, parabéns pelo artigo abraço.

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Muito boa essa explicação nunca é tarde para aprender e recordar, parabéns pelo artigo abraço.

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